I. Giới thiệu cơ bản về bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):
Bất đẳng thức Cauchy cho hai số:
a b ab a b
ab
ab a b
2
2 , ,
,,
2
. Đẳng thức xảy ra khi
.
Bất đẳng thức Cauchy cho ba số:
a b c a bc a b c
a b c
abc a b c
3
3
3 , , ,
, , ,
3
. Đẳng thức xảy ra khi
Bất đẳng thức Cauchy tổng quát cho
số không âm:
n
n n n
n
n
nn
a a a n a a a a a a
a a a
a a a a a a
n
1 2 1 2 1 2
12
1 2 1 2
… … , , ,… 0
…
… , , ,… 0
. Đẳng thức xảy ra khi
II. Các hệ quả của bất đẳng thức Cauchy (AM – GM):
a b ab, a,b
22
2
. Đẳng thức xảy ra khi
.
a b ab, a,b
22
2
. Đẳng thức xảy ra khi
.
ab
ab
2
2
. Đẳng thức xảy ra khi
.
a b c abc, a,b,c
3 3 3
30
. Đẳng thức xảy ra khi
.
a b c
abc
3
3
. Đẳng thức xảy ra khi
.
ab bc ca a b c a b c a b c
2
2 2 2
3 3 , , ,
. Đẳng thức xảy ra khi
.
a b ab a b a b
33
, ,
. Đẳng thức xảy ra khi
.
ab
a b a b
ba
22
, ,
. Đẳng thức xảy ra khi
.
IV. Sử dụng bất đẳng thức AM – GM đưa về biến cần tìm:
Bài 1: Cho các số thực
thỏa mãn
. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
P x y x y
33
23
.
Bài 2: Cho các số thực
dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P x y
xy x y
22
1
8
8
.
Bài 3: Cho các số thực dương
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P
xy
x y x y
3 3 3 3
11
9
24H HỌC TOÁN – CHIẾN THẮNG 3 CÂU PHÂN LOẠI
Giáo viên: Đoàn Trí Dũng – Hà Hữu Hải
BÀI 6: AM – GM Dồn biến
