heát söùc toång quaùt. Tinh thaàn xuyeân suoát cuûa chuùng toâi laø muoán baïn ñoïc
caûm nhaän ñöôïc tính töï nhieân cuûa vaán ñeà. Qua ñoù, caùc baïn seõ lyù giaûi ñöôïc
“taïi sao”, ñeå roài coù theå töï mình böôùc ñi treân con ñöôøng saùng taïo.
*Ghi chuù: Chuùng toâi seõ ñaùnh daáu caùc baøi toaùn theo töøng muïc. Vì soá löôïng
caùc ñònh lyù laø raát ít neân chuùng toâi khoâng ñaùnh daáu. Chuùng toâi coá gaéng ghi
teân taùc giaû vaø nguoàn trích daãn ñoái vôùi taát caû caùc keát quaû quan troïng, ngoaïi
tröø nhöõng keát quaû cuûa chuùng toâi.
2. BÑT 3 bieán vôùi cöïc trò ñaït ñöôïc ñoái xöùng.
Xin phaùc hoïa laïi tö töôûng cuûa chuùng ta nhö sau. Baøi toaùn cuûa chuùng ta seõ
coù daïng f(x, y, z) ≥ vôùi x, y, z laø caùc bieán soá thöïc thoûa maõn caùc tính chaát
naøo ñaáy. Ñieàu chuùng ta mong muoán laø seõ coù ñaùnh giaù f(x, y, z) ≥ f(t, t, z)
vôùi t laø moät ñaïi löôïng thích hôïp tuøy theo moãi lieân heä giöõa x, y, z (ta seõ
goïi ñaây laø kó thuaät doàn veà 2 bieán baèng nhau). Sau ñoù chuùng ta kieåm tra
f(t, t, z) ≥ ñeå hoaøn taát chöùng minh. Löu yù raèng neáu caùc bieán ñaõ ñöôïc
chuaån hoùa thì böôùc cuoái chæ laø baøi toaùn vôùi moät bieán.
Trong muïc naøy, chuùng ta seõ chæ xem xeùt caùc ví duï cô baûn nhaát.
Baøi toaùn 1. (BÑT Cauchy) Cho x, y, z > , chöùng minh raèng
x + y + z ≥ 3
3
√
xyz
Lôøi giaûi:
Vì BÑT laø ñoàng baäc neân baèng caùch chuaån hoùa ta coù theå giaû söû x+y+z =1
(*). Vieát laïi baøi toaùn döôùi daïng f(x, y, z) ≥ vôùi f(x, y, z)=1− 27xyz.Ta
thaáy raèng khi thay x vaø y bôûi t =
x+y
2
thì ñieàu kieän (*) vaãn baûo toaøn (töùc laø
vaãn coù t + t + z =1), neân ta chæ phaûi xem xeùt söï thay ñoåi cuûa xyz.
Theo BÑT Cauchy vôùi 2 bieán (chöùng minh raát ñôn giaûn) thì xy ≤ t
2
,
neân xyz ≤ t
2
z. Vaäy f(x, y, z) ≥ f(t, t, z).
Cuoái cuøng ñeå yù laø z =1− 2t neân ta coù:
f(t, t, z)=1−27t
2
z =1−27t
2
(1 − 2t)=(1+6t)(1 −3t)
2
≥
vaø baøi toaùn chöùng minh xong. Ñaúng thöùc xaûy ra khi x = y vaø 3t =1, nghóa
laø x = y =1/3, töông ñöông vôùi x = y = z.
3
