4 | THỦ T H U Ậ T P H Ư Ơ N G T R Ì N H – H Ệ P H Ư Ơ N G T R Ì N H
2
2 1 1 2
( 1)
y x y y
x x y x x y
Nhận thấy phương trình đầu có
2 1 1 2 2 2A B y x y y x
không liên quan đến
Còn phương trình thứ 2 có
2
( 1)A B y x x y x y x
có thể rút gọn với
2
2
2
2
2
2
22
2 2 2 2 2 2
( 1)
( 1)
( 1)
( 1)
2 ( 1)
( 1)
2 4
y x x y
x y x
yx
y x x y
x x x
y x x y
y x x y x x
y x x x y
y x x x
yx
xx
y x x y
x
y x x x x y y x x x x y x x y y x x
Thay vào phương trình thứ nhất ta được:
2 2 2
1 1 2x x x x x x
Đến tình huống này ta dung kỹ thuật nhẩm nghiệm nhận ra phương trình có nghiệm duy nhất
(Hoặc sử
dụng máy tính SHIFT SOLVE). Khi
thì
= 1,
= 1. Do đó ta sử dụng bất đẳng thức
Cauchy để đánh giá:
22
22
22
22
22
2 2 2 2
11
1. 1 1
22
1 1 2
1. 1 1
22
2
1 1 1 1 1
2
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x x x x x x
Vì
2
2 2 2 2
1 1 1 1 2 1 1 2x x x x x x x x x x x x
Vậy đẳng thức xảy ra khi
22
16 2 3 4 1 1x x x x
Bài toán này nghiệm rất đẹp
nhưng để giải ra nghiệm này bằng cách trục căn thức đơn thuần thì
gần như sẽ không được nhiều điểm. Để giải quyết triệt để ta sử dụng kỹ thuật xét tổng hiệu:
22
22
22
2
22
16 2 3 4 1 1
16 4 3 4
11
11
16 2 3 4
3 12
11
16 2 3 4
x x x x
x x x
x
x
x x x
x x x
x
x x x
Như vậy nghiệm đầu tiên là
. Nếu
thì
22
16 2 3 4 3 4 1 1x x x x x
Do đó ta có hệ:
