Câu 1. Cho 5 điểm đồng phẳng sao cho các đường thẳng đi qua các cặp điểm trong 5 điểm đó không có
2 đường thẳng nào song song, vuông góc hay trùng nhau. Qua mỗi điểm ta vẽ các đường vuông
góc với tất cả các đường thẳng nối 2 điểm trong 4 điểm còn lại. Không kể 5 điểm đã cho số giao
điểm của các đường thẳng vuông góc đó nhiều nhất là bao nhiêu?
A.
. B.
. C.
. D.
.
Lời giải
Tác giả : Chu Viết Tấn,Tên FB: Chu Viết Tấn
Chọn A
Gọi 5 điểm đó là
Có
2
4
C
đường thẳng không đi qua
nên từ
kẻ được 6 đường thẳng vuông góc với 6
đường thẳng đó. Tương tự từ
kẻ được 6 đường thẳng vuông góc với 6 đường thẳng không đi
qua B. Đáng lẽ ra 2 nhóm đường thẳng này cắt nhau tại
điểm ( Không kể
).
Nhưng vì có
2
3
C
đường thẳng không đi qua 2 điểm
nên 3 đường thẳng vuông góc vẽ
từ A và 3 đường thẳng vuông góc vẽ từ B đôi một song song với nhau nên số giao điểm của 2
nhóm đường thẳng vuông góc này chỉ còn 36-3=33 điểm. Có
2
5
C
cách chọn các cặp điểm
như vậy nên có 330 giao điểm của các đường thẳng vuông góc. Thế nhưng cứ mỗi 3 điểm như
thì 3 đường cao của tam giác này trong số các đường vuông góc đó lại đồng quy tại 1
điểm ( thay vì cắt nhau tại 3 điểm) nên số giao điểm giảm đi 2. Vì có
3
5
C
tam giác như tam
giác ABC nên số giao điểm giản đi 20. Vậy số giao điểm nhiều nhất của các đường thẳng vuông
goác là 330-20=310.
Mở rộng: Bài này có thể tổng quát cho n điểm (n>2)
Câu 2. Từ các chữ số thuộc tập
X
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5
chữ số khác nhau sao cho mỗi số tự nhiên đó đều chia hết cho 9.
A.
. B.
. C.
. D.
.
Lời giải
Tác giả : Phạm Thành Trung,Tên FB: Phạm Thành Trung
Chọn A
Ta có nhận xét
1 2 3 4 5 6 7 28
là số khi chia cho 9 có dư là 1.
Vậy khi đó để chọn ra số tự nhiên có 5 chữ số chia hết cho 9 ta cần loại đi trong tập
hai chữ
số có tổng khi chia cho 9 dư là 1.
Do đó có hai trường hợp loại đi hai số có tổng chia cho 9 dư 1 là
Khi loại đi cặp
ta có:
+ Chọn số cho vị trí hàng đơn vị có 3 cách.
+ Chọn số cho các vị trí còn lại có
cách.
Trường hợp này có
số.
Khi loại đi cặp
ta có:
+ Chọn số cho vị trí hàng đơn vị có 1 cách.
+ Chọn số cho các vị trí còn lại có
cách.
Trường hợp này có
số.
Vậy có tất cả
số thỏa mãn yêu cầu.
