Giới hạn của dãy số
Nguyễn Minh Tuấn – GV trường THPT Chuyên QB
NỘI DUNG
I) Phương pháp sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số
1. Kiến thức sử dụng:
Định nghĩa:
*
lim 0, :
n n
u L N N n N u L
Sử dụng:
– Tiêu chuẩn Cô-si: Dãy {x
n
} có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi với mọi > 0,
tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi m, n N ta có |x
m
– x
n
| < .
– Nguyên lý ánh xạ co: Nếu với mọi x, y ta có |f(x) – f(y)| q|x-y| với q là
hằng số 0 < q < 1 và {x
n
} bị chặn thì {x
n
} hội tụ. Đặc biệt nếu |f’(x)| q < 1 thì ta
luôn có điều này.
Ý tưởng chính: Đánh giá
1
n n
u L q u L q
và
1 1
n n n n
Phương pháp này thường được dùng khi ta thấy dãy số không tăng, không giảm.
2. Các ví dụ:
Bài 1: (Đề thi HSG Quảng Bình) Cho dãy số
1
u
và
2
1
1
n n
u u
. Tìm giới hạn dãy
số?
HD: Chứng minh:
n
u
Giải phương trình
2
1
1 1 3
Xét
2 2
1 3
1 1
2 2 2 2
n
n n n n
u a
Suy ra
n
u
Bài 2: (Đề dự bị VMO 2008) Cho số thực a và dãy số thực
xác định bởi:
1
và u
n+1
= ln(3+cosu
n
+ sinu
n
) – 2008 với mọi n = 1, 2, 3, …
Chứng minh rằng dãy số (u
n
)có giới hạn hữu hạn.
HD: Đặt f(x) = ln(3+sinx+cosx) – 2008 thì
cos sin
‘( )
f x
Từ đó, sử dụng đánh giá
| cos sin | 2, | sin cos | 2
x x x x
ta suy ra
.1
23
2
|)(‘|
qxf
Áp dụng định lý Lagrange với m > n N, ta có
|u
m
– u
n
| = |f(u
m-1
) – f(u
n-1
)|
q|u
m-1
-u
n-1
|
…
q
n-1
|u
m-n+1
– u
1
|.
Do dãy (u
n
) bị chặn và q < 1 nên dãy (x
n
) thoả mãn điều kiện Cauchy nên có giới hạn
hữu hạn.
Bài tập nâng cao giới hạn của dãy số
